为了迎合您的需求,我整理了如下信息:“二次函数教案”,只要我的回答对您有所帮助,请别忘了将其保存起来。每位教师在上课前都需要准备一份完整的教案课件,相信对于撰写教案课件这件事,老师们并不陌生。只有准备好课堂教案课件,才能大大提高教学效率。
二次函数教案
教学目标:
1. 1. 理解二次函数的意义;会用描点法画出函数y=ax2的图象,知道抛物线的有关概念;
2. 2. 通过变式教学,培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性;
3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法;加深对于数形结合思想认识,数学教案-二次函数教学设计。
教学难点:描点法画二次函数y=ax2的图象,数与形相互联系。
我们已学习了正比例函数及一次函数,现在来看看下面几个例子:
1.写出圆的半径是R(CM),它的.面积S(CM2)与R的关系式
2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地,矩形面积S(M2)与矩形一边长L(M)之间的关系
分析:①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系?
S是否是R、L的一次函数?
由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数,那么S是R、L的什么函数呢?这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢?
一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) ,
那么,y叫做x的二次函数.
注意:(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2) 由于二次函数的解析式是整式的形式,所以x的取值范围是任意实数.
练习:1.举例子:请同学举一些二次函数的例子,全班同学判断是否正确。
2.出难题:请同学给大家出示一个函数,请同学判断是否是二次函数。
(若学生考虑不全,教师给予补充。如:
对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因,从而得到画二次函数图象的几点注意。
画好之后教师根据情况讲评,并引导学生观察图象形状得出:二次函数 y=ax2的图象是一条抛物线。
(这里,教师在学生自己探索尝试的基础上,示范画图象的方法和过程,希望学生学会画图象的方法;并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识,通过观察,感悟抛物线名称的由来。)
学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难,不知如何是好。
注意:1. 画图象应描7个左右的点,描的点越多图象越准确,初中数学教案《数学教案-二次函数教学设计》。
2. 自变量X的取值应注意关于Y轴对称。
3. 对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活,例如可以取分数。
教师引导学生观察表格及图象,归纳y=ax2的性质,学生们畅所欲言,各抒己见;互相改进,互相完善。最终得到如下性质:
一般的,二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,对称轴是Y轴,顶点是坐标原点;当a>0时,图象的开口向上,最低点为(0,0);当a<0时,图象的开口向下,最高点为(0,0)。
在这一环节中,教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面,总之是人人有所得,个个有提高。这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。
(在整个一节课上,基本上是学生讲为主,教师讲为辅。一些较为困难的问题,我也鼓励学生大胆思考,积极尝试,不怕困难,一个人完不成,讲不透,第二个人、第三个人补充,直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃,学生之间常会因为某个观点的不同而争论,这就给教师提出了更高的要求,一方面要控制好整节课的节奏,另一方面又要察言观色,适时地对某些观点作出判断,或与学生一同讨论。)
二次函数教案
1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
(函数y=-4(x-2)2+1图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1)。
2.函数y=-4(x-2)2+1图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?
(函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)
3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质?
(当x2时,函数值y随x的增大而减小;当x=2时,函数取得最大值,最大值y=1)
4.不画出图象,你能直接说出函数y=-x2+x-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
5.你能画出函数y=-x2+x-的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗?
由以上第4个问题的解决,我们已经知道函数y=-x2+x-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点,可以采用描点法作图的方法作出函数y=-x2+x-的图象,进而观察得到这个函数的性质。
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … -6 -4 -2 -2 -2 -4 -6 …
(2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点。
(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2+x-的图象,如图所示。
说明:(1)列表时,应根据对称轴是x=1,以1为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。
(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题,选取适当的长度单位,使画出的图象美观。
让学生观察函数图象,发表意见,互相补充,得到这个函数韵性质;
当x1时,函数值y随x的增大而减小;
三、做一做
1.请你按照上面的方法,画出函数y=x2-4x+10的图象,由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?
(1)在学生画函数图象的同时,教师巡视、指导;
(2)叫一位或两位同学板演,学生自纠,教师点评。
2.通过配方变形,说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
(1)在学生做题时,教师巡视、指导;(2)让学生总结配方的方法;(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?
以上讲的,都是给出一个具体的二次函数,来研究它的图象与性质。那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识;
=a+c-
=a(x+)2+
当a>0时,开口向上,当a
通过本节课的学习,你学到了什么知识?有何体会?
1.填空:
(1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______;
(2)抛物线y=2x2-2x-的开口_______,对称轴是_______;
(3)抛物线y=-2x2-4x+8的开口_______,顶点坐标是_______;
(4)抛物线y=-x2+2x+4的对称轴是_______;
(5)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=_______.
2.画出函数y=2x2-3x的图象,说明这个函数具有哪些性质。
3. 通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质。
二次函数教案
〖大纲要求〗
1. 理解二次函数的概念;
2. 会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象;
3. 会平移二次函数y=ax2(a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax+m)2+k的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想;
4. 会用待定系数法求二次函数的解析式;
5. 利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系,数学教案-二次函数。
内容
(1)二次函数及其图象
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么,y叫做x的二次函数。
二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。
(2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
20.某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管和向外喷水,喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直,(如图)如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面米,则水流下落点B离墙距离OB是( )
(A)2米 (B)3米 (C)4米 (D)5米
三.解答下列各题(21题6分,22----25每题4分,26-----28每题6分,共40分)
21.已知:直线y=x+k过点A(4,-3)。(1)求k的值;(2)判断点B(-2,-6)是否在这条直线上;(3)指出这条直线不过哪个象限。
22.已知抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴为x=,
(1) 求这条抛物线的解析式;
(2) 试证明这条抛物线与X轴的两个交点中,必有一点C,使得对于x轴上任意一点D都有AC+BC≤AD+BD。
23.已知:金属棒的长1是温度t的一次函数,现有一根金属棒,在O℃时长度为200cm,温度提高1℃,它就伸长0.002cm。
(1) 求这根金属棒长度l与温度t的函数关系式;
(2) 当温度为100℃时,求这根金属棒的长度;
(3) 当这根金属棒加热后长度伸长到201.6cm时,求这时金属棒的温度。
24.已知x1,x2,是关于x的方程x2-3x+m=0的两个不同的实数根,设s=x12+x22
(1) 求S关于m的解析式;并求m的取值范围;
(2) 当函数值s=7时,求x13+8x2的值;
25.已知抛物线y=x2-(a+2)x+9顶点在坐标轴上,求a的值。
26、如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=Rt∠,截取AE=BF=DG=x,已知AB=6,CD=3,AD=4,求:
(1) 四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和X的取值范围;
(2) 当x为何值时,S的数值是x的4倍。
27、国家对某种产品的税收标准原定每销售100元需缴税8元(即税率为8%),台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品m吨,每吨2000元。国家为了减轻工人负担,将税收调整为每100元缴税(8-x)元(即税率为(8-x)%),这样工厂扩大了生产,实际销售比原计划增加2x%。
(1) 写出调整后税款y(元)与x的函数关系式,指出x的取值范围;
(2) 要使调整后税款等于原计划税款(销售m吨,税率为8%)的78%,求x的值.
28、已知抛物线y=x2+(2-m)x-2m(m≠2)与y轴的交点为A,与x轴的交点为B,C(B点在C点左边)
(1) 写出A,B,C三点的坐标;
(2) 设m=a2-2a+4试问是否存在实数a,使△ABC为Rt△?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由;
(3) 设m=a2-2a+4,当∠BAC最大时,求实数a的值。
习题2:
一.填空(20分)
1.二次函数=2(x - )2 +1图象的对称轴是 。
2.函数y= 的自变量的取值范围是 。
3.若一次函数y=(m-3)x+m+1的图象过一、二、四象限,则的取值范围是 。
4.已知关于的二次函数图象顶点(1,-1),且图象过点(0,-3),则这个二次函数解析式为 。
5.若y与x2成反比例,位于第四象限的一点P(a,b)在这个函数图象上,且a,b是方程x2-x -12=0的两根,则这个函数的关系式 。
6.已知点P(1,a)在反比例函数y= (k≠0)的图象上,其中a=m2+2m+3(m为实数),则这个函数图象在第 象限。
7. x,y满足等式x= ,把y写成x的函数 ,其中自变量x的取值范围是 。
8.二次函数y=ax2+bx+c+(a 0)的图象如图,则点P(2a-3,b+2)
在坐标系中位于第 象限
9.二次函数y=(x-1)2+(x-3)2,当x= 时,达到最小值 。
10.抛物线y=x2-(2m-1)x- 6m与x轴交于(x1,0)和(x2,0)两点,已知x1x2=x1+x2+49,要使抛物线经过原点,应将它向右平移 个单位。
二.选择题(30分)
11.抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标( )
(A)(0,8) (B)(0,-8) (C)(0,6) (D)(-2,0)(-4,0)
12.抛物线y=- (x+1)2+3的顶点坐标( )
(A)(1,3) (B)(1,-3) (C)(-1,-3) (D)(-1,3)
13.如图,如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限,那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是( )
14.函数y= 的自变量x的取值范围是( )
(A)x 2 (B)x- 2且x 1 (D)x 2且x –1
Ⅲ.课堂练习
随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课进一步探究了函数=3x2与=3(x-1)2,=3(x-1)2+2的图象有什么关系,对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题.并作了归纳总结.还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论.
Ⅴ.课后作业
习题2.4
Ⅵ.活动与探究
二次函数= (x+2)2-1与= (x-1)2+2的图象是由函数= x2的图象怎样移动得到的?它们之间是通过怎样移动得到的?
解:= (x+2)2-1的图象是由= x2的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到的,= (x-1)2+2的图象是由= x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的.
= (x+2)2-1的图象向右平移3个单位,再向上平移3个单位得到= (x-1)2+2的图象.
= (x-1)2+2的图象向左平移3个单位,再向下平移3个单位得到= (x+2)2-1的图象.
板书设计
4.2.1 二次函数=ax2+bx+c的图象(一) 一、1. 比较函数=3x2与=3(x-1)2的
图象和性质(投影片2.4.1 A)
2.做一做(投影片2.4.1 B)
3.总结函数=3x2,=3(x-1)2= 3(x-1)2+2的图象之间的关系(投影片2.4.1 C)
4.议一议(投影片2.4.1 D)
二、课堂练习
1.随堂练习
2.补充练习
三、课时小结
四、课后作业
备课资料
参考练习
在同一直角坐标系内作出函数=- x2,=- x2-1,=- (x+1)2-1的图象,并讨论它们的性质与位置关系.
解:图象略
它们都是抛物线,且开口方向都向下;对称轴分别为轴轴,直线x=-1;顶点坐标分别为(0,0),(0,-1),(-1,-1).
=- x2的图象向下移动1个单位得到=- x2-1 的图象;=- x2的图象向左移动1个单位,向下移动1个单位,得到=- (x+1)2-1的图象.
二次函数教案
教学目标:
1、使学生进一步理解二次函数的基本性质;
2、渗透解析几何,数形结合,函数等数学思想.培养学生发现问题解决问题,及逻辑思维的能力.
3、使学生参与教学过程,通过主体的积极思维,体验感悟数学.逐步建立数学的观念,培养学生独立地获取知识的能力.
教学重点:初步理解数形结合的数学思想
教学难点:初步理解数形结合的数学思想
教学用具:微机
教学方法:探究式、小组合作学习
教学过程:
例1、已知:抛物线y=x2-(m2-1)x-2m2-2
⑴求证:无论m取什么实数,抛物线与x轴一定有两个交点
⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?
解:
△ =(m2-1)2+4(2m2+2)
=m4-2m2+1+8m2+8
=m4+6m2+9
=(m2+3)2
m2≥0
∴m2+3>0
∴△>0
∴抛物线与x轴有两个交点
问题:为什么说当△>0时,抛物线y =ax2+bx+c与x轴有两个交点.(能否从数和形两方面说明)
设计意图:在课堂上创设让学生说数学的机会,学会合作学习,以达到①经验共享,在思维的碰撞中共同提高.②学会合作,消除个人中心.③发现自我,提高参与度.④弘扬个体的主体性,形成健康,丰富的个性.
数:点在曲线上,点的坐标满足曲线的方程.反之,曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点,既在抛物线上,又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式,也满足x轴的解析式.设交点坐标为(x,y)
∴
这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y =0,消去y,转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识,当△>0时, ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.∴y =ax2+bx+c
y =0
有两个不等的实数解
∴抛物线与x轴交于两个不同的点.
形:顶点在x轴上方,且开口向下.或者顶点在x轴下方,且开口向上.
设计意图:渗透解析几何的基本思想
使学生掌握转化思想使学生在解题过程中,感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合,分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维.
转化成代数语言为:
小结:第一种方法,根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题,转化成求方程组的解的问题.
第二种方法,借助于图象思考问题,比较直观.发现规律后,再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法,也是探索解数学问题的一般方法.
思考:试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别 式的符号的关系.
设计意图:数学学习是一个再创造的过程,不能等同于数学知识的汇集,而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体,揭示出蕴涵于其中的数学思想方法,逐步形成数学观念.
⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?
解:设二次函数与x轴的两交点为(x1,0),(x2,0)
解法㈠ 由⑴可知m为任何实数时, 都有△>0
解①
∴ x1+x2=m2-1
x1·x2=-2(m2+1)
∴│x2-x1│=
=
=
=
=m2+3
∴当m =0时,两交点最小距离为3
这里两交点间距离是m的函数
设计意图:培养学生的问题意识.在解题过程中,发现问题,并能运用已有的数学知识,将其一般化,形式化,解决问题,体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想
问题: 观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同?具有一般的规律吗?如何说明.
设x1、x2 为ax2+bx+c =0的两根
可以推出:
还可以理解为顶点到x轴距离最短.
设计意图:在对比、分析中,明确概念,揭示知识间的联系,帮助学生建立良好的认知结构.
小结:观察这道题的结论,我们猜测出规律,将其一般化,推导出这个公式,这是学习数学知识的一般方法.
解法㈡:用十字相乘法或求根公式法求根.
思考:一元二次方程与二次函数的关系.
思考:求m取什么实数时,y =x2-(m2-1)x -2 m2-2被直线y =2所截得的线段最短?是多少?
练习:
观察函数 的图象,回答:
(1)y>0时,x的取值范围如何?
(2)y=0时,x取什么值?
(1)y
小结:数与形是数学中相互依赖的两个方面.图形比较直观,可以启发思路;而数学的严格证明也是必不可少的.直观性和形式化是数学的两重性.
探究活动
探究问题:
欣欣日用品零售商店,从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞(数量至少为100把),欣欣商店根据销售记录,这批雨伞以零售单价每把为14元出售时,月销售量为100把,数学教案-二次函数y=ax2+bx+c 的图象,初中数学教案《数学教案-二次函数y=ax2+bx+c 的图象》。如果零售单价每降价0.1元 , 月销售量就要增加5把.
(1) 欣欣日用品零售商店以零售单价14元出售时,一个月的利润为多少元?
(2) 欣欣日用品零售商店为了扩大销售记录,现实行降价销售,问分别降价0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元时的利润是多少?
(3) 欣欣日用品零售商店实行降价销售后,问降价多少元时利润最大?最大利润为多少元?
(4) 现在该公司的批发部为了再次扩大这种雨伞的销售量,给零售商制定如下优惠措施:如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把,其超过100把的部分每把按原价九五折(即百分之95)付费,但零售价每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时,才能使这种雨伞的月销售利润最大?最大月销售利润是多少元?(销售利润=销售款额—进货款额)
解:(1)(14—8) (元)
(2)638元、728元、748元、792元、792元、750元。
(3)设降价 元时利润最大,最大利润为 元
=
=
=
∴ 当 时, 有最大值
元
(4)设降价 元时利润最大,利润为 元
(其中 )。
化简,得 。
,
∴ 当 时, 有最大值。
∴ 。
数学教案-二次函数y=ax2+bx+c 的图象
二次函数教案
Ⅰ.温故知新、引入新课:
二次函数的图象是____________.
(1)开口___________;
(2)对称轴是___________;
(3)顶点坐标是___________;
(4)当时,随的增大而___________;
当时,随的增大而___________;
(5)函数图象有___________点,函数有___________值;
当_____时,取得__________值____.
问题:那二次函数的图象会是什么样子呢?它会有哪些性质呢?它与的图象有关系吗?
Ⅱ.自主探索、小组互学、展学提升:
(2)观察、思考并与同伴交流完成“议一议”
(3)一小组派代表展示,其它小组与老师评价、完善。
(1)作出二次函数的图象:
议一议:
仔细观察,用心思考,与同伴交流:
(1)二次函数的图象是什么样子?
(2)它的开口方向是什么?
(3)它是轴对称图形吗?对称轴是谁?
(4)它的顶点坐标是什么?
(5)当取什么值时,随的增大而增大?当取什么值时,随的增大而减小?
(6)二次函数的图象有最高点还是最低点?它会取得最大还是最小值?是多少?
此时,等于多少?
(7)二次函数与二次函数的图象有哪些相同点和不同点呢?它们的图象之间有什么关系呢?
教师巡视,察看学生完成情况并适时给予指导。
当学生展开讨论时,参与到学生的交流中启发、点拨学生的思维。
学生通过上一环节的作图、观察、比较、归纳、交流讨论等过程,已经积累了一些方法和经验,所以此环节由学生自己独立完成:
(1)作出二次函数的图象;
(2)观察、思考完成“想一想”
(3)一学生展示,其他同学与老师评价、完善。
问:
二次函数的图象会是什么样子?它与二次函数的图象有哪些相同点和不同点呢?它们的图象之间有什么关系呢?它图象的开口方向、对称轴、顶点坐标是什么?它的增减性、最值是什么情况呢?请你先猜一猜,然后做出它的图象观察思考,你猜的对吗?
(1)作出二次函数的图象:
(1)二次函数的图象是什么样子?
(2)它的开口方向是什么?
(3)它是轴对称图形吗?对称轴是谁?
(4)它的顶点坐标是什么?
(5)当取什么值时,随的增大而增大?当取什么值时,随的增大而减小?
(6)二次函数的图象有最高点还是最低点?它会取得最大还是最小值?是多少?
此时,等于多少?
(7)二次函数与二次函数的图象有哪些相同点和不同点呢?它们的图象之间有什么关系呢?
教师巡视,察看学生解决问题情况并适时指导.之后请学生展示,师生共同评价完善.
Ⅳ.自主探索、小组互学、展学提升:
学生在前面作图、观察、思考、交流讨论的基础上,完成“猜一猜”,然后师生共同利用计算机进行验证。最后,学生在交流讨论的基础上总结二此函数的性质。
猜一猜:
(1)二次函数的图象是什么样子呢?二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系?请你描述一下二次函数的性质.
(2) 二次函数的图象是什么样子呢?二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系?请你描述一下二次函数的性质.
议一议:
(1)二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系?
当______时,随的增大而增大;
当______时,随的增大而减小.
当______时,随的增大而增大;
观察学生完成问题情况,并适时给予点拨。学生展示,师生共同评价完善。
1. 函数的图象可由的图象向平移 个单位长度得到;
函数的图象可由的图象向 平移 个单位长度得到.
2. 将函数的图象向平移 个单位可得函数的图象;
将函数的图象向平移 个单位长度可以得到函数的图象;
将函数的图象向平移 个单位可得到的图象.
3. 将抛物线向上平移3个单位,所得的抛物线的表达式是 .
将抛物线向下平移5个单位,所得的抛物线的表达式是 .
4. 抛物线的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当时,随的增大而 ,当时,随的增大而 ,当 时,函数取得最 值,这个值等于 .
5. 抛物线的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,在对称轴的左侧,随的增大而 ,在对称轴的右侧,随的增大而 ,当x= 时,函数取得最 值,这个值等于 .
6. 二次函数的图象经过点A(1,-1),B(2,5),则函数的表达式为 ;若点C(-2,m),D(n ,15)也在函数的图象上,则点C的坐标为 ,点D的坐标为___________
二次函数教案
教学目标
1、能列出实际问题中的二次函数关系式;
2、理解二次函数概念;
3、能判断所给的函数关系式是否二次函数关系式;
4、掌握二次函数解析式的几种常见形式.
从实际问题中感悟变量间的二次函数关系,揭示二次函数概念.学生经历观察、思考、交流、归纳、辨析、实践运用等过程,体会函数中的常量与变量,深刻领悟二次函数意义.
情感态度
使学生进一步体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型,培养学生合作交流意识和探索能力。
教学重点
理解二次函数的意义,能列出实际问题中二次函数解析式
教学难点
能列出实际问题中二次函数解析式
教学过程设计
一、情境引入
播放实际生活中的有关抛物线的图片,概括性的介绍本章.
二、探究新知
㈠、用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系:
1.正方体的棱长是x,表面积是y,写出y关于x的函数关系式;
2.n边形的对角线条数d与边数n有什么关系?
3.某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量,如果每年都必上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的`值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?
㈡观察所列函数关系式,看看有何共同特点?
㈢类比一次函数和反比例函数概念揭示二次函数概念:
一般地,形如
二次函数教案
知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向〖大纲要求〗
1. 理解二次函数的概念;
2. 会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象;
3. 会平移二次函数y=ax2(a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax+m)2+k的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想;
4. 会用待定系数法求二次函数的解析式;
5. 利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
内容
(1)二次函数及其图象
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么,y叫做x的二次函数。
二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。
(2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是,对称轴是 ,当a>0时,抛物线开口向上,当a
抛物线y=a(x+h)2+k(a≠0)的顶点是(-h,k),对称轴是x=-h.
〖考查重点与常见题型〗
1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x2+m2-m-2额图像经过原点,
则m的值是
2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数y=kx+b的图像在第一、二、三象限内,那么函数
y=kx2+bx-1的图像大致是( )
y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x=,求这条抛物线的解析式。
4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
习题1:
一、填空题:(每小题3分,共30分)
1、已知A(3,6)在第一象限,则点B(3,-6)在第 象限
2、对于y=-,当x>0时,y随x的增大而
3、二次函数y=x2+x-5取最小值是,自变量x的值是
4、抛物线y=(x-1)2-7的对称轴是直线x=
5、直线y=-5x-8在y轴上的截距是
6、函数y=中,自变量x的取值范围是
7、若函数y=(m+1)xm2+3m+1是反比例函数,则m的值为
8、在公式=b中,如果b是已知数,则a=
9、已知关于x的一次函数y=(m-1)x+7,如果y随x的增大而减小,则m的取值范围是
10、 某乡粮食总产值为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨),与该乡人口数x的函数关系式是
二、选择题:(每题3分,共30分)
11、函数y=中,自变量x的取值范围 ( )
(A)x>5 (B)x<5 (C)x≤5 (D)x≥5
12、抛物线y=(x+3)2-2的顶点在 ( )
(A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
13、抛物线y=(x-1)(x-2)与坐标轴交点的个数为 ( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
14、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是( )
(A) (B) (C) (D)
15.平面三角坐标系内与点(3,-5)关于y轴对称点的坐标为( )
(A)(-3,5) (B)(3,5) (C)(-3,-5) (D)(3,-5)
16.下列抛物线,对称轴是直线x=的是( )
(A) y=x2(B)y=x2+2x(C)y=x2+x+2(D)y=x2-x-2
17.函数y=中,x的取值范围是( )
(A)x≠0 (B)x> (C)x≠ (D)x<
18.已知A(0,0),B(3,2)两点,则经过A、B两点的直线是( )
(A)y=x (B)y=x (C)y=3x (D)y=x+1
19.不论m为何实数,直线y=x+2m与y=-x+4 的交点不可能在( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
20.某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管和向外喷水,喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直,(如图)如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面米,则水流下落点B离墙距离OB是( )
(A)2米 (B)3米 (C)4米 (D)5米
三.解答下列各题(21题6分,22----25每题4分,26-----28每题6分,共40分)
21.已知:直线y=x+k过点A(4,-3)。(1)求k的值;(2)判断点B(-2,-6)是否在这条直线上;(3)指出这条直线不过哪个象限。
22.已知抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴为x=,
(1) 求这条抛物线的解析式;
(2) 试证明这条抛物线与X轴的两个交点中,必有一点C,使得对于x轴上任意一点D都有AC+BC≤AD+BD。
23.已知:金属棒的长1是温度t的一次函数,现有一根金属棒,在O℃时长度为200cm,温度提高1℃,它就伸长0.002cm。
(1) 求这根金属棒长度l与温度t的函数关系式;
(2) 当温度为100℃时,求这根金属棒的长度;
(3) 当这根金属棒加热后长度伸长到201.6cm时,求这时金属棒的温度。
24.已知x1,x2,是关于x的方程x2-3x+m=0的两个不同的实数根,设s=x12+x22
(1) 求S关于m的解析式;并求m的取值范围;
(2) 当函数值s=7时,求x13+8x2的值;
25.已知抛物线y=x2-(a+2)x+9顶点在坐标轴上,求a的值。
26、如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=Rt∠,截取AE=BF=DG=x,已知AB=6,CD=3,AD=4,求:
(1) 四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和X的取值范围;
(2) 当x为何值时,S的数值是x的4倍。
27、国家对某种产品的税收标准原定每销售100元需缴税8元(即税率为8%),台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品m吨,每吨2000元。国家为了减轻工人负担,将税收调整为每100元缴税(8-x)元(即税率为(8-x)%),这样工厂扩大了生产,实际销售比原计划增加2x%。
(1) 写出调整后税款y(元)与x的函数关系式,指出x的取值范围;
(2) 要使调整后税款等于原计划税款(销售m吨,税率为8%)的78%,求x的值.
28、已知抛物线y=x2+(2-m)x-2m(m≠2)与y轴的交点为A,与x轴的交点为B,C(B点在C点左边)
(1) 写出A,B,C三点的坐标;
(2) 设m=a2-2a+4试问是否存在实数a,使△ABC为Rt△?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由;
(3) 设m=a2-2a+4,当∠BAC最大时,求实数a的值。
习题2:
一.填空(20分)
1.二次函数=2(x - )2 +1图象的对称轴是 。
2.函数y= 的自变量的取值范围是 。
3.若一次函数y=(m-3)x+m+1的图象过一、二、四象限,则的取值范围是 。
4.已知关于的二次函数图象顶点(1,-1),且图象过点(0,-3),则这个二次函数解析式为 。
5.若y与x2成反比例,位于第四象限的一点P(a,b)在这个函数图象上,且a,b是方程x2-x -12=0的两根,则这个函数的关系式 。
6.已知点P(1,a)在反比例函数y= (k≠0)的图象上,其中a=m2+2m+3(m为实数),则这个函数图象在第 象限。
7. x,y满足等式x= ,把y写成x的函数 ,其中自变量x的取值范围是 。
8.二次函数y=ax2+bx+c+(a 0)的图象如图,则点P(2a-3,b+2)
在坐标系中位于第 象限
9.二次函数y=(x-1)2+(x-3)2,当x= 时,达到最小值 。
10.抛物线y=x2-(2m-1)x- 6m与x轴交于(x1,0)和(x2,0)两点,已知x1x2=x1+x2+49,要使抛物线经过原点,应将它向右平移 个单位。
二.选择题(30分)
11.抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标( )
(A)(0,8) (B)(0,-8) (C)(0,6) (D)(-2,0)(-4,0)
12.抛物线y=- (x+1)2+3的顶点坐标( )
(A)(1,3) (B)(1,-3) (C)(-1,-3) (D)(-1,3)
13.如图,如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限,那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是( )
14.函数y= 的自变量x的取值范围是( )
(A)x 2 (B)x - 2且x 1 (D)x 2且x –1
15.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得抛物线的解析式是( )
(A)=3(x+3)2 -2 (B)=3(x+2)2+2 (C)=3(x-3)2 -2 (D)=3(x-3)2+2
16.已知抛物线=x2+2mx+m -7与x轴的两个交点在点(1,0)两旁,则关于x的方程 x2+(m+1)x+m2+5=0的根的情况是( )
(A)有两个正根 (B)有两个负数根 (C)有一正根和一个负根 (D)无实根
17.函数y=- x的图象与图象y=x+1的交点在( )
(A) 第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
18.如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象,如图,
则代数式b+c-a与0的关系( )
(A)b+c-a=0 (B)b+c-a>0 (C)b+c-a
19.已知:二直线y=- x +6和y=x - 2,它们与y轴所围成的三角形的面积为( )
(A)6 (B)10 (C)20 (D)12
20.某学生从家里去学校,开始时匀速跑步前进,跑累了后,再匀速步行余下的路程。下图所示图中,横轴表示该生从家里出发的时间t,纵轴表示离学校的路程s,则路程s与时间t之间的函数关系的图象大致是( )
三.解答题(21~23每题5分,24~28每题7分,共50分)
21.已知抛物线y=ax2+bx+c(a 0)与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3,与y轴交点的纵坐标是- ;
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标。
22、如图抛物线与直线 都经过坐标轴的正半轴上A,B两点,该抛物线的对称轴x=—1,与x轴交于点C,且∠ABC=90°求:
(1)直线AB的解析式;
(2)抛物线的解析式。
23、某商场销售一批名脾衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现每件衬衫降价1元, 商场平均每天可多售出2件:
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫要降价多少元,
(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?
24、已知:二次函数 和 的图象都经过x轴上两个不同的点M、N,求a、b的值。
25、如图,已知⊿ABC是边长为4的正三角形,AB在x轴上,点C在第一象限,AC与y轴交于点D,点A的坐标为{—1,0),求
(1)B,C,D三点的坐标;
(2)抛物线 经过B,C,D三点,求它的解析式;
(3)过点D作DE∥AB交过B,C,D三点的抛物线于E,求DE的长。
26 某市电力公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法计算电费:每月用电不超100度
时,按每度0.57元计费:每月用电超过100度时.其中的100度仍按原标准收费,超过部分按每度0.50元计费。
(1)设月用电x度时,应交电费y元,当x≤100和x>100时,分别写出y关于x的函数
关系式;
(2)小王家第一季度交纳电费情况如下:
问小王家第一季度共用电多少度?
27、巳知:抛物线
(1)求证;不论m取何值,抛物线与x轴必有两个交点,并且有一个交点是A(2,0);
(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B,AB的长为d,求d与m之间的函数关系式;
(3)设d=10,P(a,b)为抛物线上一点:
①当⊿ABP是直角三角形时,求b的值;
②当⊿ABP是锐角三角形,钝角三角形时,分别写出b的取值范围(第2题不要求写出过程)
28、已知二次函数的图象 与x轴的交点为A,B(点B在点A的右边),与y轴的交点为C;
(1)若⊿ABC为Rt⊿,求m的值;
(1)在⊿ABC中,若AC=BC,求sin∠ACB的值;
(3)设⊿ABC的面积为S,求当m为何值时,s有最小值.并求这个最小值。
二次函数教案
1、知识与技能:
(1)体会函数与方程之间的联系,初步体会利用函数图象研究方程问题的方法;
(2)理解二次函数图象与x轴(横轴)交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征;(3)理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)图象交点的横坐标。
2、过程与方法:
(1)由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系;
(2)经历类比、观察、发现、归纳的探索过程,体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。 3、情感、态度与价值观:
培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。
重点:经历“类比__观察__发现__归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。难点:准确理解二次函数与一元二次方程的关系。
教法(=):命题课,采用“发现式学习”的方式,注重“最近发展区”,寻根问源,以旧知识为基础创设问题情境,引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用”的探究过程。学法:探究式学习。
多媒体、PPT课件。
附:板书设计:
《二次函数》教案3
一、教材分析
1.教材的地位和作用
(1)函数是初等数学中最基本的概念之一,贯穿于整个初等数学体系之中,也是实际生活中数学建模的重要工具之一,二次函数在初中函数的教学中有重要地位,它不仅是初中代数内容的引申,也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。在历届佛山市中考试题中,二次函数都是必不可少的内容。
(2)二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想,对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。
(3)二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系,使学生能更好地将所学知识融会贯通。 2.课标要求:
①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义。
②会用描点法画出二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质。
③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)。
④会根据二次函数的性质解决简单的实际问题。
3.学情分析:
(1)初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。
(2)学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高。 (3)学生学习数学的热情很高,思维敏捷,具有一定的自主探究和合作学习的能力。
(4)学生能力差异较大,两极分化明显。 4.教学目标
认知目标
(1)掌握二次函数y=图像与系数符号之间的关系。通过复习,掌握各类形式的二次函数解析式求解方法和思路,能够一题多解,发散提高学生的创造思维能力。
能力目标
提高学生对知识的整合能力和分析能力。 情感目标
制作动画增加直观效果,激发学生兴趣,感受数学之美。在教学中渗透美的教育,渗透数形结合的思想,让学生在数学活动中学会感受探索与创造,体验成功的。喜悦。 5.教学重点与难点:
重点:(1)掌握二次函数y=图像与系数符号之间的关系。 (2)各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路。
(3)本节课主要目的,对历届中考题中的二次函数题目进行类比分析,达到融会贯通的作用。
难点:(1)已知二次函数的解析式说出函数性质
(2)运用数形结合思想,选用恰当的数学关系式解决几何问题。
二、教学方法:
1.运用多媒体进行辅助教学,既直观、生动地反映图形变换,增强教学的条理性和形象性,又丰富了课堂的内容,有利于突出重点、分散难点,更好地提高课堂效率。
2.将知识点分类,让学生通过这个框架结构很容易看出不同解析式表示的二次函数的内在联系,让学生形成一个清晰、系统、完整的知识网络。
3.师生互动探究式教学,以课标为依据,渗透新的教育理念,遵循教师为主导、学生为主体的原则,结合初三学生的求知心理和已有的认知水平开展教学.形成学生自动、生生助动、师生互动,教师着眼于引导,学生着眼于探索,侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异,在教学的各个环节中进行分层施教,让每一个学生都能获得知识,能力得到提高。
三、学法指导:
1.学法引导
“授人之鱼,不如授人之渔”在教学过程中,不但要传授学生基本知识,还要培育学生主动思考,亲自动手,自我发现等能力,增强学生的综合素质,从而达到教学终极目标。
二次函数教案
教学目标:
(1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯
教学重点:能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中,
2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗?
3.我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定, y是x的函数,试写出这个函数的关系式,教师可提出问题,(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?(2)面积y等于多少? y=x(20-2x)
y=6x2 d= n /2 (n-3) y= 20 (1-x)2
3、二次函数定义:形如y=ax2+bx+c (a、b、、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项.
(1) (口答)下列函数中,哪些是二次函数?
(2).P3练习第1,2题。
五、小结 叙述二次函数的定义.
教学目标:
1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。
教学重点:使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象
教学难点:用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。
1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是什么?
2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?
3.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么?
1、例1、画二次函数y=2x2 与y=2x2的图象。(有学生自己完成)
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
提问:观察这个函数的图象,它有什么特点? (让学生观察,思考、讨论、交流,)
2、归纳:
抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点坐标(0,0)
(1).观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别?
(2).课件出示:在同一直角坐标系中, y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较
(3).将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?(课件出示)
让学生观察y=x2、y=2x2的图象,填空;
当a>0时,抛物线y=ax2开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。
当XO时,函数值y随X的增大而______;当X=______时,函数值y=ax2 (a>0)取得最小值,最小值y=______
三、总结:函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0)。
2.写出函数y=ax2具有哪些性质?
教学目标:
1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。
2、让学生经历二次函数y=ax2+b性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y=ax2的关系。
教学重点:会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象,理解二次函数y=ax2+b的性质,理解函数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系。
教学难点:正确理解二次函数y=ax2+b的性质,理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax2的关系。
1.二次函数y=2x2的图象具有哪些性质?
2.猜想二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
1、问题1:画出函数y=2x2和函数y=2x2+1的图象,并加以比较
问题2,你能在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象吗?
同学试一试,教师点评。
问题3:当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值(既y)之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?
让学生观察两个函数图象,说出函数y=2x2+1与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同,顶点坐标,函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是(0,1)。
师:你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2+1的一些性质吗?
2、小组汇报:分组讨论这个函数的性质并归纳:当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大,当x=0时,函数取得最小值,最小值y=1。
在同一直角坐标系中画出函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别?
三、小结 1、在同一直角坐标系中,函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系? 2.你能说出函数y=ax2+k具有哪些性质?
四、作业: 在同一直角坐标系中,画出 (1)y=-2x2与y=-2x2-2;的图像
教学目标:
1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。
2.让学生经历二次函数y=a(x-h)2性质探究的过程,理解其性质,理解二次函数
y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。
重点:会用画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解其性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。
难点:理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系。
1.在同一直角坐标系内,画出二次函数y=-12x2,y=-12x2-1的图象,并回答:
(1)两条抛物线的位置关系。
(2)说出它们所具有的公共性质。
2.二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?
1、探究新知:学生画出二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象,并加以观察
2.、学生汇报:函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象,开口方向、对称轴和顶点坐标;函数y=2(x一1)2的图象可以看作是函数y=2x2的图象怎样平移得到的。
3.让学生完成以下填空:
当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时,函数值y随x的增大而增大;当x=______时,函数取得最______值y=______。
在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象,并比较它们的联系和区别吗?
让学生讨论、交流,举手发言,归纳:在y=2(x+1)2中,当x<-1时,函数值y随x的增大而减小;当x>-1时,函数值y随x的增大而增大;当x=一1时,函数取得最小值,最小值y=0。
教学目标:
1.使学生理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2.会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解函数y=a(x-h)2+k的性质。
重点:,理解函数y=a(x-h)2+k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系,
难点:正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质
1.函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
(函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)
2.函数y=2(x-1)2+1图象与函数y=2(x-1)2图象有什么关系?函数y=2(x-1)2+1有哪些性质?这就是本节要学习得内容。
1、画图:在同一直角坐标系中画出函数y=2(x-1)2与y=2x2 y=2(x-1)2+1的图象,看看它们之间有何的关系? 在学生画函数图象时,教师巡视指导;
出示例3:你能发现函数y=2(x-1)2+1有哪些性质?
教师可组织学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,
函数y=2(x-1)2+1的图象可以看成是将函数y=2(x-1)2的图象向上平称1个单位得到的,也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x<1时,函数值y随x的增大而减小,当x>1时,函数值y随x的增大而增大;当x=1时,函数取得最小值,最小值y=1。
3、课堂练习:不画图像说说函数y=2(x-1)2-2与y=2(x-1)2的异同点
1.通过本节课的学习,你学到了哪些知识?还存在什么困惑?
2.谈谈你的学习体会。
四、作业:
1.巳知函数y=-12x2、y=-12x2-1和y=-12(x+1)2-1
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象;
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=-12x2得到抛物线y=-12x2-1和抛物线y=12(x+1)2-1;
思考:函数y=2(x-1)2+k的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
教学目标:
1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。
2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。
重点:用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
难点:理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=-b2a、(-b2a,4ac-b24a)是教学的难点。
1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?具有哪些性质?
2.函数y=-4(x-2)2+1图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?
3.不画出图象,你能直接说出函数y=-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了
1、思考: 像函数 y=-4(x-2)2+1很容易说出图像的顶点坐标,函数y=-1/2x2-6x+21能画成y=a(x-h)2+k 这样的形式吗?
2、师生合作探索: y=-1/2x2-6x+21 变成 y=a(x-h)2+k的过程
(1). 通过配方变形,说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
在学生做题时,教师巡视、指导; 让学生总结配方的方法;思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?
以上讲的,都是给出一个具体的二次函数,来研究它的图象与性质。那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,汇报结果:
当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下。
对称轴是x=-b/2a,顶点坐标是(-b2a,4ac-b24a)
三、小结: 通过本节课的学习,你学到了什么知识?有何体会?
(1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______;
(2)抛物线y=2x2-2x-52的开口_______,对称轴是_______;
(3)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=_______.
2.画出函数y=2x2-3x的图象,说明这个函数具有哪些性质。
3. 通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质
教学目标:
1.通过探索,使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题,提高学生用数学的意识。
3.进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合思想。
重点:使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。
难点:进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想。.
像书中这样的问题,我们常常会遇到,如拱桥跨度、拱高计算等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义。本节课,我和同学们共同研究,尝试解决以下几个问题。
1、问题1:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内,柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示。
根据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是
y=-x2+2x+45。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?
思路如下:
(1).让学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题(1)就是求函数y=-x2+2x+45最大值,问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标;
(2)学生解答,教师巡视指导;一两位同学板演,教师点评。
2、出示例题:画出函数y=x2-x-34的图象。 如图(4)所示。
教师引导学生观察函数图象,得到图象与x轴交点的坐标分别是(-12,0)和(32,0)。
让学生完成解答。教师巡视指导并讲评。
教师组织学生分组讨论、交流,各组选派代表发表意见,全班交流,从“形”的方面看,函数y=x2-x-34的图象与x轴交点的横坐标,即为方程x2-x-34=0的解;从“数”的方面看,当二次函数y=x2-x-34的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程x2-x-34=0的解。更一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
根据图(4)象回答下列问题。
(1)当x取何值时,y<0?当x取何值时y>0,?
y<0 即x2-x-34<0的解集是什么? y>0 即x2-x-34>0的解集是什么?)
让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系,讨论、交流:
(1)从“形”的方面看,二次函数y=ax2+bJ+c在x轴上方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标.即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。
(2)从“数”的方面看,当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的'解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bc+c<0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
三、小结:
1.通过本节课的学习,你有什么收获?有什么困惑?
2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点,试说明,元二次方程
ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解的情况。
四、作业:
1. 二次函数y=x2-3x-18的图象与x轴有两交点,求两交点间的距离。
2.已知函数y=x2-x-2。
(2)观察图象确定:x取什么值时,①y=0,②y>0;③y<0。
1.复习巩固用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解。
2.让学生体验函数y=x2和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx+c的解的探索过程,掌握用函数y=x2和y=bx+c图象交点的方法求方程ax2=bx+c的解。
3.提高学生综合解题能力,渗透数形结合思想。
重点;用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
难点:提高学生综合解题能力,渗透数形结合的思想是教学的难点。
1.如何运用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c的解?
2.画出函数y=2x2-3x-2的图象,求方程2x2-3x-2=0的解。
学生练习的同时,教师巡视指导,根据学生情况进行讲评。 (解:略)
1、问题1:初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论:求方程x2=12x十3的解时,几乎所有学生都是将方程化为x2-12x-3=0,画出函数y=x2-12x-3的图象,观察它与x轴的交点,得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项,而是分别画出了函数y=x2和y=12x+2的图象,如图(3)所示,认为它们的交点A、B的横坐标-32和2就是原方程的解.
思考:
(1). 这两种解法的结果一样吗? 小刘解法的理由是什么?
(2).函数y=x2和y=bx+c的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?
(3)函数y=x2和y=bx+c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2=bx+c的解吗?
(4).如果函数y=x2和y=bx+c图象没有交点,一元二次方程x2=bx+c的解怎样?
利用图像解下列方程的解,并检验小刘的方法是否合理。
(1)x2+x-1=0(精确到0.1); (2)2x2-3x-2=0。
注意:①要把(1)的方程转化为x2=-x+1,画函数y=x2和y=-x+1的图象;
②要把(2)的方程转化为x2=32x+1,画函数y=x2和y=32x+1的图象;
已知抛物线y1=2x2-8x+k+8和直线y2=mx+1相交于点P(3,4m)。
(1)求这两个函数的关系式;
(2)当x取何值时,抛物线与直线相交,并求交点坐标。
解:(1)因为点P(3,4m)在直线y2=mx+1上,所以有4m=3m+1,解得m=1
所以y1=x+1,P(3,4)。 因为点P(3,4)在抛物线y1=2x2-8x+k+8上,所以有
4=18-24+k+8 解得 k=2 所以y1=2x2-8x+10
(2)依题意,得y=x+1y=2x2-8x+10 解这个方程组,得x1=3y1=4 ,x2=1.5y2=2.5
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3,4),(1.5,2.5)。
2.你能根据方程组:y=x2y=bx+c的解的情况,来判定函数y=x2与y=bx+c图象交点个数吗?请说说你的看法。
四、作业:
(1)抛物线y=x2-x-2与x轴的交点坐标是______,与y轴的交点坐标是______。
(2)抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是______,与x轴的交点坐标是______。
4.已知抛物线y1=x2+x-k与直线y=-2x+1的交点的纵坐标为3。
(1)求抛物线的关系式;
(2)求抛物线y=x2+x-k与直线y=-2x+1的另一个交点坐标.
教学目标:
1.能根据实际问题列出函数关系式、
2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。
3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。
重点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,应用函数的性质解答数学问题
难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?
有了前面所学的知识,现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。
出示例1、要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地,矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化,当L是多少时,围成的矩形面积S最大?
解:设矩形的一边为Lm,则矩形的另一边为(30-L)m,由于L>0,且30-L>O,所以O<L<30。
3、练一练:
(1)、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
请同学们完成解答; 教师巡视、指导; 师生共同完成解答过程:
解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元。
商品每天的利润y与x的函数关系式是: y=(10-x-8)(100+1OOx)
即y=-1OOx2+1OOx+200 配方得y=-100(x-12)2+225
因为x=12时,满足0≤x≤2。 所以当x=12时,函数取得最大值,最大值y=225。
所以将这种商品的售价降低0.5元时,能使销售利润最大。
小结:让学生回顾解题过程,讨论、交流,归纳解题步骤:
(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;
(2)研究自变量的取值范围;
(3)研究所得的函数;
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值:
(5)解决提出的实际问题。
三、小结: 1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?存在哪些困惑?
2.谈谈你的收获和体会。
四、作业:
1.已知一个矩形的周长是24cm。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时,S最大?
2.填空:
(1)二次函数y=x2+2x-5取最小值时,自变量x的值是______;
(2)已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,那么m的值是______。
3.如图(1)所示,要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,没靠墙的篱笆长度为xm。
(1)要使鸡场的面积最大,鸡场的长应为多少米?
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少米?
(3)比较(1)、(2)的结果,你能得到什么结论?
选做题:用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时,才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?
教学目标:
1.能根据实际问题列出函数关系式、
2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。
3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。
重点:根据实际问题建立二次函数不同的数学模型,应用函数的性质解答数学问题
难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,
(1)建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。O恰好在水面中心,布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示,建立直角坐标系(如图(6)),水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+52x+32,请回答下列问题:
(1)花形柱子OA的高度;
(2)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水不至于落在池外?
(2).如图(7),一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=-15x2+3.5
2、练一练:
(1).如图是抛物线拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽46米,水位上升3米就达到警戒线CD,这时水面宽43米,若洪水到来时,水位以每小时0.25米速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
三、小结:
1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?存在哪些困惑?
2.谈谈你的收获和体会。
四、作业:
一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(3)所示,现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时,离开水面1.5m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?
教学目标:
1、理解二次函数的概念,掌握二次函数y=ax2的图象与性质;
2、会用描点法画抛物线,能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向;
3、能较熟练地由抛物线y=ax2经过适当平移得到y=a(x-h)2+k的图象。
重点:用配方法求二次函数的顶点、对称轴,由图象概括二次函数y=ax2图象的性质。
1.二次函数的概念,二次函数y=ax2 (a≠0)的图象性质。
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?
学生活动:学生四人一组进行讨论,并回顾例题所涉及的知识点,让学生代表发言分析解题方法,以及涉及的知识点。
抛物线的增减性要结合图象进行分析,要求学生画出草图,渗透数形结合思想,进行观察分析。
2.强化练习;已知函数 是二次函数,其图象开口方向向下,则m=_____,顶点为_____,当x_____0时,y随x的增大而增大,当x_____0时,y随x的增大而减小。
3.用配方法求抛物线的顶点,对称轴;抛物线的画法,平移规律,
例2:用配方法求出抛物线y=-3x2-6x+8的顶点坐标、对称轴,并画出函数图象,说明通过怎样的平移,可得到抛物线y=-3x2。
学生活动:小组讨论配方方法,确定抛物线画法的步骤,探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。
4.教师归纳点评:
(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义,指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系: y=ax2+bx+c————→y=a(x+b2a)2+4ac-b24a
(2)强调利用抛物线的对称性进行画图,先确定抛物线的顶点、对称轴,利用对称性列表、描点、连线。
(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动。
5.综合应用。
例3:如图,已知直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点,已知B点坐标为(1,1)。
(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)如果D为抛物线上一点,使得△AOD与△OBC的面积相等,求D点坐标。
6. 强化练习:
(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,求:b与c的值。
(2)通过配方,求抛物线y=12x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标再画出图象。
(3)函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1,b),求:
抛物线y=ax2的顶点和对称轴;
x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大,
求抛物线与直线y=-2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。
1.让学生反思本节教学过程,归纳本节课复习过的知识点及应用。
1.若二次函数y=(m+1)x2+m2-2m-3的图象经过原点,则m=______。
2.函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=______,b=______。
3.抛物线y=-13(x-1)2+2可以由抛物线y=-13x2向______方向平移______个单位,再向______方向平移______个单位得到。
4.用配方法把y=-12x2+x-52化为y=a(x-h)2+k的形式为y=_____,其开口方向______,对称轴为______,顶点坐标为______。
教学目标:
1、会用待定系数法求二次函数的解析式,
2、能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质,
3、能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。
重点;用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
1、用待定系数法确定二次函数解析式.
(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,1),(1,3),(-1,1)三点。
(2)抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6)。
(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3,0),(2,-3)两点,并且以x=1为对称轴。
(4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点;且过(1,1),求这个二次函数解析式,并把它化为y=a(x-h)2+k的形式。
学生活动:学生讨论,四个小题应选择什么样的函数解析式?并让学生阐述解题方法。分组完成,点评解题要点。
2、强化练习:已知二次函数的图象过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点纵坐标为m。
(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围。
1、出示例2:如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标,
(3)若点M在第四象限内的抛物线上,且OM⊥BC,垂足为D,求点M的坐标。
教师归纳:
2、强化练习;已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1。
(1)求证不论m为何值,函数图象与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点。
(2)当m为何值时,函数图象过原点,并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。
(3)若函数图象的顶点在第四象限,求m的取值范围。
归纳二次函数三种解析式的实际应用。
1. 如果一条抛物线的形状与y=-13x2+2的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的解析式是_____。
2.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且过(3,0),则a+b+c=______。
二、选择。
1.如图(1),二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>0,bc>0 B. a<0,bc<0 C. a>O,bc<O D. a<0,bc>0
2.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(2)所示,那么函数解析式为( )
3.若二次函数y=ax2+c,当x取x1、x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为( )
4.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(3)所示,下列结论中: ①abc>0,②b=2a;③a+b+c<0,④a-b+c>0,正确的个数是( )
三、解答题。
已知抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2。
(1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点,
(2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB,以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示)
(3)设△ABC的面积为6,且A、B两点在y轴的同侧,求抛物线的解析式。